赫尔维茨定理证明

赫尔维茨定理(Hurwitz theorem)证明

赫尔维茨定理(Hurwitz theorem)赫尔维茨定理由赫尔维茨和鲁歇(Rouche , E.)于1895年给出，亦称为赫尔维茨一鲁歇判别法。这个定理是控制理论中的一个数学判据，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。
定理的内容为：
对称矩阵为正定的充要条件是：矩阵的各阶主子式都为正；对称矩阵为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
关于定理的证明，同济大学第六版线性代数不予证明。查阅网上，关于定理的证明几乎千篇一律全是错的。

证明思路

其实证明也很简单，只需要证明各阶主子式为正定或者负定，然后根据正定负定矩阵性质即可得证。

正定负定定义

设二次型 $f(x)=x^TAx$ ,如果对任何 $x \neq 0$ 都有 $f(x)>0$ 则称 $f$ 为正定二次型，对称矩阵 $A$ 是正定的；如果对任何 $x \neq 0$ 都有 $f(x)<0$ 则称 $f$ 为负定二次型，对称矩阵 $A$ 是负定的。

性质

• 矩阵是对称矩阵
• 正定矩阵所有特征值是正数，负定矩阵所有特征值是负数

证明

正定充分性证明

即证明正定矩阵的各阶主子式都为正。 ，负定矩阵奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，根据定义

$$f(x)=X^TAX >0$$

取非零向量

$$X^T=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k,0,\dots,0)\\$$

其中 $k$ 为 $n$ 阶矩阵的非零元素的个数， $x_k$ 为 $n$ 阶矩阵的非零元素组成的向量

$$X_k^T=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k)$$

矩阵 $A$ 可以分块表示为

$$A_k=\begin{pmatrix} A_{k} & B \\ C & D \end{pmatrix}$$

那么

$$\begin{aligned} f(x)&=(x_1,x_2,x_3,\dots,x_k,0,\dots,0)\begin{pmatrix} A_k & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\x_k\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \\ &=X_k^TA_kX_k\\ \end{aligned}\\$$

根据正定定义， $x_k$ 是非零向量

$$f(x)>0$$

那么，

$$f(x)=X_k^TA_kX_k>0$$

根据定义， $A_k$ 也是正定的。
$A_k$ 为 $k$ 阶矩阵， $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$ 分别是 $A_k$ 的特征值。

注意：$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$ 并非矩阵 $A$ 的其中 $k$ 个特征值。

那么根据矩阵特征值性质（谱定理）

$$\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_k=|A_k|$$

再根据正定矩阵性质，特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_k$ 均大于0
所以

$$|A_k|>0$$

正定矩阵的各阶主子式都为正，充分性得证。

正定必要性证明

即证明如果对称矩阵各阶主子式都为正，那么矩阵是正定矩阵。