二次型与矩阵

二次型与矩阵对应关系

$$\begin{aligned} f(x)&=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \cdots + a_{nn}x_n^2 \\ &+ 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + \cdots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{aligned}$$

观察各个项，行和列按 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ 的顺序排列成表格，每个格子内为行列相乘的项，平方项恰在对角线位置，其他项放在对角线上三角区域，可以得到下面方阵：

$$\begin{aligned} \begin{array}{c:ccccc} & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \hdashline x_1 & a_{11}x_1^2 & 2a_{12}x_1x_2 & 2a_{13}x_1x_3& \cdots & 2a_{1n}x_1x_n \\ x_2& 0 & a_{22}x_2^2 & 2a_{23}x_2x_3& \cdots & 2a_{2n}x_2x_n \\ x_3& 0 & 0 & a_{33}x_3^2& \cdots & 2a_{3n}x_3x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n& 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn}x_n^2 \end{array} \end{aligned}$$

如果把像 $2a_{12} , 2a_{13},\dots,2a_{(n-1)n}$ 这样的2倍的系数沿着对角线对称的位置拆分放置，即 $a_{12}=a_{21} , a_{13}=a_{31},\dots,a_{(n-1)n}=a_{n(n-1)}$ ，那么可以得到下面的样子：

$$\begin{aligned} \begin{array}{c:ccccc} & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \hdashline x_1 & a_{11}x_1^2 & a_{12}x_1x_2 & a_{13}x_1x_3& \cdots & a_{1n}x_1x_n \\ x_2& a_{21}x_1x_2 & a_{22}x_2^2 & a_{23}x_2x_3& \cdots & a_{2n}x_2x_n \\ x_3& a_{31}x_1x_3 & a_{32}x_2x_3 & a_{33}x_3^2& \cdots & a_{3n}x_3x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n& a_{n1}x_1x_n & a_{n2}x_2x_n & a_{n3}x_3x_n & \cdots & a_{nn}x_n^2 \end{array} \end{aligned}$$

即

$$\begin{aligned} f(x) &=x_1(a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ & +x_2(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n) \\ & +x_3(a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + \cdots + a_{3n}x_n) \\ & + \cdots\\ & + x_n(a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n) \\ \end{aligned}$$

写成矩阵相乘的方式为：

$$\begin{aligned} f(x)&= (x_1, x_2, \cdots, x_n) \begin{pmatrix}a_{11}x_1 & a_{12}x_2 & \cdots & a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 & a_{22}x_2 & \cdots & a_{2n}x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}x_1 & a_{n2}x_2 & \cdots & a_{nn}x_n \end{pmatrix}\\ &=(x_1, x_2, \cdots, x_n)\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &=x^TAx \end{aligned}$$

其中

$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} , x=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

二次型 $f(x)$ ，和矩阵表示 $x^TAx$ 是等价的。二次型可以通过配方法换元标准化。然而，只有表示成对称矩阵才可以的对角化为标准形。

那么怎么理解二次型如果表示为非对称矩阵为什么不能对角化呢？明明是等价的表示。例如， $x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2$ 如果表示为

$$\begin{aligned} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\ C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

B和C只是交换了位置，只讨论A、B两个矩阵的对角化。其特征值分别为0或2、重根1。

A的特征值为2、0，特征向量分别为：

$$\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}$$

所以，

$$\begin{aligned} P&=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \\ P^{-1}&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ \end{aligned}$$

那么，

$$\begin{aligned} P^{-1}AP&=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{aligned}$$

若 $x=Py$ ， $x^T=(Py)^T=y^TP^T$ 。

但由于此时的 $P$ 未经酉变换， $P^{-1}\neq P^T$ ，所以 $y^T(P^{-1}AP)y\neq diag(2,0)$

将 $P$ 矩阵转换为酉变换，

$$\begin{aligned} U&=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \\ U^{-1}&=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\\ &=U^T \end{aligned}$$

即

$$\begin{aligned} f(y_1,y_2)&=2y_1^2+0y_2^2 \end{aligned}$$

此时对应的换元关系为：

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=U\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} x_1=\frac{1}{\sqrt{2}}y_1-\frac{1}{\sqrt{2}}y_2 \\ x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}y_1+\frac{1}{\sqrt{2}}y_2 \end{aligned} \right. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}=U^{-1}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=U^{T}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} y_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}x_1+\frac{1}{\sqrt{2}}x_2 \\ y_2&=-\frac{1}{\sqrt{2}}x_1+\frac{1}{\sqrt{2}}x_2 \end{aligned} \right. \end{aligned}$$

如何理解这种变换呢？

这种变换，将坐标轴旋转45度，如下图。

与配方法对照

对于上面的简单的二次型，很显然可以做 $y_1=x_1+x_2$ 的换元，和 $y_2$ 没有关系，可以取任意值，如果取 $y_2=x_2$ 。得到的结果为：

$$f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)^2=y_1^2$$

取

$$\begin{aligned} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

此时的变换关系为：

$$\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}=Q\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$$

那么，

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix} &=Q^{-1}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}\\ D&=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned}$$

即

$$\left\{ \begin{aligned} x_1&=y_1-y_2 \\ x_2&=y_2 \end{aligned} \right.$$ $$\begin{aligned} f(x)&=x^TAx=(Dy)^TADy=y^TD^TADy\\ &=y^T\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}y \\ &=y_1^2 \end{aligned}$$

显然此处 $D^T \neq D^{-1}$ ，虽然可以变换成了标准形，但是并不是 $diag(2,0)$ 的形式， $D$ 也不是特征向量矩阵。并且 $D$ 不是正规矩阵，不能做酉变换。 $D^T \neq D^{-1}$ ，此变换不能和特征向量和特征值建立联系。

如何理解这种变换呢？

这种变换效果如下图，变换后的坐标轴成45度角，并且和 $y_2$ 无关。

如果矩阵为B

其特征值为重根1，仅对应一个特征向量，无法对角化。但是二次型还是那个式子，为什么却不能对角化呢？ 二次型和对称矩阵具有相同的计算特性，计算出来的特征向量恰好和换元变换关系。 $D^T$ 表示换元变换关系， $D^{-1}$ 表示特征值和特征向量关系， $D^T=D^{-1}$ 将特征值特征向量关系和换元关系联系了起来。