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韦达公式推导

一元n次方程

anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0=0\begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0 \end{align}

的根为 x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n ，其中 an≠0a_n \neq 0 。 那么(1)式可以写成下面的形式：

an(x−x1)(x−x2)...(x−xn)=0\begin{align} a_n(x - x_1)(x - x_2)...(x - x_n) = 0 \end{align}

将其展开,并观察多项式系数, xn−1x_{n-1} 的系数: −(x1+x2+...+xn)an -(x_1 + x_2 + ... + x_n)a_n 常数项： (−1)nx1x2...xn−1an (-1)^nx_1x_2...x_{n-1}a_n

比较常数项和 xn−1x_{n-1} 的系数，可以得到：

a0=(−1)nx1x2...xn−1anan−1=−(x1+x2+...+xn)an\begin{aligned} a_0 &=(-1)^nx_1x_2...x_{n-1}a_n \\ a_{n-1} &=-(x_1 + x_2 + ... + x_n)a_n \end{aligned}

∴\therefore

∏i=1nxi=x1x2...xn−1an=(−1)na0an∑i=1nxi=x1+x2+...+xn=−an−1an\begin{equation} \begin{aligned} &\prod_{i=1}^nx_i=x_1x_2...x_{n-1}a_n=\frac{(-1)^{n}{a_0}}{a_n} \\ &\sum_{i=1}^nx_i=x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{aligned} \end{equation}

这就是一元n次方程的韦达公式。