矩阵对角化

一、什么样的n阶矩阵才能对角化？

先说结论

$$\left\{ \begin{aligned} a. & 特征值无重根 ✅\\ b. & 有重根 \left\{ \begin{aligned} b.1. & 厄米特矩阵(Hermitian),\\ &特别的对称实数矩阵 ✅ \\ b.2. & 非厄矩阵 \left\{ \begin{aligned} b.2.1. & 几何重数=代数重数 ✅ \\ b.2.2. & 几何重数 \neq 代数重数 ❌ \end{aligned} \right. \end{aligned} \right. \end{aligned} \right.$$

定理1：

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 是方阵 $A$ 的m个特征值， $p_1,p_2,\dots,p_m$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m$ 各不相等，则 $p_1,p_2,\dots,p_m$ 线性无关。

定理2：

n阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

推论：

如果n阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角矩阵相似。

二、根据以上定理和推理特征值无重根的a和b.2.1情况一定可以对角化。

三、有重根情况b.1情况

3.1 厄米特矩阵

厄米特矩阵是满足 $A^H=A$ 的矩阵，即 $A^H$ 是 $A$ 的共轭转置矩阵。

3.2 酉矩阵

满足 $A^HA=I$ 的矩阵。酉矩阵，其列向量是规范正交的，其秩必为n。 $A^{-1}=A^H$ n阶n维线性无关向量必可以通过施密特正交化得到标准正交基矩阵，即是酉矩阵。

3.3 舒尔化矩阵

设n阶矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_k$ 有 $k$ 重根，对应 $m$ 个特征值， $p_1,p_2,\dots,p_m$ 依次是与之对应的特征向量,组成一组基，把 $\{p_1,p_2,\dots,p_m\}$ 扩充至n个（n维的最大线性无关组是n个），并施密特正交化，得到 $P=(p_1,p_2,\dots,p_m,p_{m+1},\dots,p_n)$ $AP=(\lambda_kp_1,\lambda_kp_2,\dots,\lambda_kp_m,Ap_{m+1},Ap_{m+2},\dots,Ap_n)$

$$\begin{aligned} P^HAP= \begin{pmatrix} p_1^H \\ p_2^H\\ p_3^H\\ \vdots\\ p_m^H\\ p_{m+1}^H\\ \vdots\\ p_{n} \end{pmatrix}(\lambda_kp_1,\lambda_kp_2,\dots,\lambda_kp_m,Ap_{m+1},Ap_{m+2},\dots,Ap_n) \end{aligned}$$

若 $A=(a_{ij}), p_j=(q_{ij})$ 因为 $P^H$ 的正交性，所以，

$$\begin{aligned} P^HAP &=\begin{pmatrix} \lambda_{k}& & & & p^H_1Ap_{m+1}&\cdots&p^H_1Ap_{n} \\ & \lambda_{k} & & & p^H_2Ap_{m+1}&\cdots&p^H_2Ap_{n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{k} & p^H_mAp_{m+1}&\cdots&p^H_mAp_{n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & p^H_{m+1}Ap_{m+1}&\cdots&p^H_{m+1}Ap_{n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&p^H_nAp_{m+1}&\cdots&p^H_nAp_{n}\\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

P为我们构造的酉矩阵，于是 $\Rightarrow$ ，

$$\begin{equation} \begin{aligned} P^{-1}AP&=P^HAP &=\begin{pmatrix} \lambda_{k}& & & & p^H_1Ap_{m+1}&\cdots&p^H_1Ap_{n} \\ & \lambda_{k} & & & p^H_2Ap_{m+1}&\cdots&p^H_2Ap_{n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{k} & p^H_mAp_{m+1}&\cdots&p^H_mAp_{n}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & p^H_{m+1}Ap_{m+1}&\cdots&p^H_{m+1}Ap_{n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&p^H_nAp_{m+1}&\cdots&p^H_nAp_{n}\\ \end{pmatrix} \\ &=B \end{aligned} \end{equation}$$

为书写方便，将(1)式 $B$ 简写为块矩阵:

$$B$$ $$\begin{aligned} B & =\left(\begin{array} {cccc:ccc} \lambda_{k} & & & & * & \cdots & * \\ & \lambda_{k} & & & * & \cdots & * \\ & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ & & & \lambda_{k} & * & \cdots & * \\ \hdashline 0 & 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & * \\ \end{array} \right)\\ & =\left(\begin{array} {ccc:c}\\ \lambda_{k} & \\ & \ddots & & W \\ & & \lambda_{k} & \\ \hdashline & O & & M \\ \end{array} \right)\\ \end{aligned}$$

其中 $M$ 矩阵可以重复上面的步骤，最终得到上三角矩阵。

$A$ 与 $B$ 相似，根据有关定理，它们具有相同的特征值。 $|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$

$$\begin{aligned} |B-\lambda E| & =\left(\begin{array} {ccc:c} \lambda_{k}-\lambda & \\ & \ddots & & W \\ & & \lambda_{k}-\lambda & \\ \hdashline & O & & M-\lambda E \\ \end{array}\right)\\ & =(\lambda_{k}-\lambda)^mg(\lambda) \end{aligned}$$

又因为 $\lambda_{k}$ 是 $k$ 重根，所以 $|A-\lambda E|=(\lambda_{k}-\lambda)^kf(\lambda)$ ，所以，几何重数 $m$ 必小于代数重数 $k$ , 即 $m\leq k$ 。

又因为 $P$ 为酉矩阵，所以

$$\begin{aligned} B^H&=(P^HAP)^H \\ &=(P^H(AP))^H \\ &=(AP)^H(P^H)^H \\ &=(AP)^HP \\ &=P^HA^HP \\ \end{aligned}$$

如果 $A$ 为厄米特矩阵，则 $B^H=B$ ，所以 $B$ 也为厄米特矩阵。所以 $B$ 必为对角矩阵。 所以，b.1情况一定可以对角化。

参考：

1. 厄米特矩阵
2. 舒尔定理
3. 几何重数小于等于代数重数