月食和日食计算

基本参数

地球公转周期 365.2564 天
月球公转周期 27.32166 天
月球轨道面与地球轨道面交角 $\alpha=5°09'$
地球和月球都是椭圆轨道，但是考虑离心率都很小，可以近似为圆形。

计算月食或者日食即计算向量 $\overrightarrow{SunEarth}$ 和 $\overrightarrow{EarthMoon}$ 的夹角如果接近0，即太阳、地球、月球一线月食发生。类似，若夹角180度，即日食发生。

\begin{aligned} \overrightarrow{SunEarth} = R * [cos(\omega_{1} t+ \frac {\pi}{2}) , sin(\omega_{1} t+ \frac {\pi}{2}), 0] \\ \overrightarrow{EarthMoon} = r * [cos(\omega_{2} t+ \frac {\pi}{2}) cos\alpha , sin(\omega_{2} t+ \frac {\pi}{2}), sin(\omega_{2} t+ \frac {\pi}{2}) sin\alpha] \end{aligned}

其中， $\omega_{1}$ 是地球公转角速度， $\omega_{1}$ 是月球公转角速度。 $R$ 是地球公转半径， $r$ 月球公转半径。向量之间的夹角为 $\beta$

\begin{aligned} cos\beta &=\frac{\overrightarrow{SunEarth} \cdot \overrightarrow{SunEarth}} {|\overrightarrow{SunEarth}|*|\overrightarrow{SunEarth}|} \\ &=\frac{\overrightarrow{SunEarth} \cdot \overrightarrow{SunEarth}} {Rr} \\ &=\frac{Rr[sin(\omega_{1}t)sin(\omega_{2}t)cos\alpha + cos(\omega_{1}t)cos(\omega_{2}t)]}{Rr} \\ &=sin(\omega_{1}t)sin(\omega_{2}t)cos\alpha + cos(\omega_{1}t)cos(\omega_{2}t) \end{aligned}

当 $1-cos\beta <= \delta$ 时，可认为近似夹角为0。

从网上查到月食、日食数据，以20250908为参考点